Matematyka Dyskretna

W zespole mocno zarysowane są aktualnie cztery grupy skupione wokół liderów. I tak w roku 2023 J. Przybyło wykorzystując metody probabilistyczne, kontynuował badanie hipotezy Faudree’ego–Lehela oraz rozpoczął pracę z dwoma doktorantami. Najliczniejsza grupa M. Woźniaka (z 3 doktorantami) skupiała dalej uwagę wokół kolorowania grafów, pracując w kontekście rozróżniania pewnych struktur grafowych etykietami wierzchołków, łuków; elementami grup; przełamując automorfizmy. A. Żak z dwoma doktorantami badał hipergrafy i wysycenie krat, jako praktycznych modeli systemów informatycznych. Grupa M. Pilśniak badała grafy nieskończone oraz kontynuowała realizację grantu poświęconego problemom dominowania w grafach, zwieńczoną obroną pracy doktorskiej jednej z doktorantek. Celem badań zespołu jest zatem uzyskanie nowych wyników w szeroko pojętej matematyce dyskretnej, ze szczególnym uwzględnieniem tych dziedzin, w których członkowie zespołu mają już znaczące osiągnięcia, ale też zapoczątkowanie ciekawych badań w nowych tematach. Dla przykładu mamy publikację z grupą matematyków z Uniwersytetu w Ulm. Inicjuje ona badania nad nowym pojęciem kolorowań większościowych krawędzi grafu. W 2023 r. dokonaliśmy istotnego postępu nad otwartą od ponad 35 lat znaną hipotezą Faudree’ego–Lehela dotyczącą siły nieregularności grafów d-regularnych. Mianowicie udało się wykazać asymptotyczną wersję tej hipotezy dla pełnego spektrum wartości d. Ponadto literalną wersję hipotezy wykazaliśmy dla dostatecznie gęstych grafów d-regularnych. Analogiczne rezultaty udało nam się także uzyskać dla trudniejszej, uogólnionej wersji tej hipotezy, gdzie analizowane są dowolne grafy, a nie jedynie regularne, w kontekście ich minimalnego stopnia, zamiast d. W innej pracy zajmowaliśmy się z kolei uogólnieniami tzw. ciągów przeszywających, które mają źródło w pytaniu sformułowanym w latach 50. XX wieku przez Steinhausa. Uzyskaliśmy tu szereg wyników, w szczególności udało się znacznie poprawić najlepsze uprzednio ograniczenia uzyskane przez Konyagina. Rozważaliśmy także kolorowania łuków digrafów symetrycznych przełamujące wszystkie nietrywialne automorfizmy. Zbadano kolorowania ogólne oraz właściwe względem rozmaitych definicji łuków sąsiednich. Razem z dwiema innymi pracami publikacja ta w pełni rozwiązuje problem optymalnych ograniczeń dla minimalnych liczb kolorów we wszystkich rodzajach właściwych kolorowań łuków przełamujących automorfizmy digrafów symetrycznych. Przy okazji postawiono kilka ciekawych hipotez. Kolorowania łamiące automorfizmy z list były kontynuowane w grafach nieskończonych. Rozwiązano również częściowo (lecz dla znaczącego zakresu parametru) hipotezę dotyczącą pewnego problemu istnienia cykli Hamiltona w hipergrafach jednolitych, postawioną w pełnej wersji przez autorów w roku 2013, a wcześniej w wersji częściowej przez G. Y. Katonę. Jednocześnie osiągnięto wyniki o potencjalnym zastosowaniu w informatyce teoretycznej dotyczących integralności grafów kratowych będących popularnymi strukturami architektur komputerowych. Uzyskano wynik rozwiązujący asymptotycznie problem postawiony w [Bagga et al., Discrete Appl. Math. 1992] dotyczący integralności kraty płaskiej. Natomiast w innym artykule, uogólniono wynik o podziale przemiennej grupy elementarnej 2-Sylowa na dowolną grupę przemienną. Przedstawiono również kilka zastosowań tego wyniku do etykietowań magicznych i antymagicznych grafów. Ogólnie badania intensyfikują się we wszystkich czterech wątkach wokół otwartych hipotez oraz pracy z doktorantami. Aktywność publikacyjna utrzymuje się na stałym wysokim poziomie, gwarantując awanse zawodowe w ogólnie przyjętych normach czasowych. Doktoraty kończą się planowo, jedna osoba przygotowuje się do wniosku habilitacyjnego, dwie kolejne do profesorskiego.

Charakterystyczną cechą zespołu jest wysokie umiędzynarodowienie badań. Współpraca z matematykami z zagranicznych uniwersytetów zaowocowała tylko w latach 2020–2023 kilkudziesięcioma wspólnymi publikacjami w prestiżowych czasopismach z matematyki dyskretnej. Są to przede wszystkim uczelnie w Bordeaux i Orsay (Francja), Duluth, Auburn i Hamilton (USA), Leoben i Grazu (Austria), Koszycach (Słowacja), Johannesburgu (RPA), Freibergu (Niemcy), Hamilton (Kanada), Mariborze i Koprze (Słowenia), Ostrawie (Czechy), Mesynie (Włochy), Meszhedzie (Iran) i Stambule (Turcja).